非线性函数线性化转化方法（乘积式）

我们在建立数学模型时候，可能会遇到将两个决策变量相乘的情况，从而使得我们的模型变成了非线性规划模型。使得一些商业求解软件（如：Gurobi, Cplex等）在对模型求解的时候产生困难。因此，我们需要将非线性表达式转化为线性表达式，降低求解难度。我们根据变量的特点，分为三种情况进行讨论：

1 两个均为0-1变量的情况

当两个变量$x_{1}$和$x_{2}$均为0-1变量时，假设对应的乘积我们用$y$表示，即$y=x_{1} \times x_{2}$, 而且$x_{1}, x_{2} \in \left\{0,1\right\}$，则我们可以采用下列公式组进行转化：
$$\left\{\begin{array}{l}y \le x_{1} \\y \le x_{2} \\y \ge x_{1}+x_{2}-1 \\y \in \left\{0,1\right\}\end{array}\right.$$

2 一个为0-1变量，一个为连续变量的情况

当两个变量$x_{1} \in \left\{0,1\right\}$，而$x_{2} \in [0,u]$时，同样的，假设对应的乘积为$y$，即$y=x_{1} \times x_{2}$，则我们可以采用下列公式组进行转化：
$$\left\{\begin{array}{l}y \le u x_{1} \\ y \le x_{2} \\ y \ge x_{2} - u (1-x_{1}) \\ y \in [0,u]\end{array}\right.$$

3 一个为0-1变量，一个为有上下界的连续变量的情况

此情况，是情况2的一种普通表达方式。当两个变量$x_{1} \in \left\{0,1\right\}$，而$x_{2} \in [l,u]$，且$l \ge 0$时，同样的，假设对应的乘积为$y$，即$y=x_{1} \times x_{2}$，则我们可以采用下列公式组进行转化：
$$\left\{\begin{array}{l}y \le x_{2} \\ y \ge x_{2} - u (1-x_{1}) \\ l x_{1} \le y \le u x_{2} \end{array}\right.$$